Fit moving average in r

Time Series Analisis dan Aplikasinya: Dengan R Contoh R time series quick fix Halaman ini menggunakan JavaScript untuk penyorotan sintaksis. Tidak perlu menyalakannya, tapi kode itu akan sulit dibaca. Ini hanya jalan singkat menyusuri jalur seRies. Saran saya adalah membuka R dan bermain bersamaan dengan tutorialnya. Mudah-mudahan, Anda telah menginstal R dan menemukan ikon di desktop Anda yang mirip dengan R. Nah, ini adalah R. Jika Anda menggunakan Linux, maka berhentilah mencari karena tidak ada di sana. Buka saja terminal dan masukkan R (atau pasang R Studio.) Jika Anda menginginkan lebih banyak grafis seri waktu, terutama menggunakan ggplot2. Lihat Quick Fix Graphics. Perbaikan cepat dimaksudkan untuk mengekspos Anda ke kemampuan rangkaian waktu R dasar dan dinilai menyenangkan bagi orang-orang berusia 8 sampai 80. Ini TIDAK dimaksudkan untuk menjadi pelajaran dalam analisis deret waktu, namun jika Anda menginginkannya, Anda bisa mencoba ini dengan mudah. Tentu saja: loz Langkah bayi. Sesi R pertama kamu Tenang, lalu mulai dia dan coba beberapa tambahan sederhana: Ok, sekarang Anda seorang ahli menggunakan R. Akan mendapatkan astsa sekarang: Sekarang kamu sudah selesai, kita bisa mulai. Mari pergi Pertama, bermain dengan Johnson amp Johnson data set. Ini termasuk dalam astsa sebagai jj. Karakter dynOmite dari Good Times. Pertama, lihatlah. Dan Anda melihat bahwa jj adalah kumpulan dari 84 nomor yang disebut objek time series. Untuk meramalkan objek Anda: Jika Anda adalah pengguna Matlab (atau sejenisnya), Anda mungkin berpikir jj adalah vektor 84 kali 1, namun tidak demikian. Ini memiliki urutan dan panjang, tapi tidak ada dimensi (tidak ada baris, tidak ada kolom). R menyebut jenis vektor objek ini sehingga Anda harus berhati-hati. Dalam R, matriks memiliki dimensi tapi vektor tidak - mereka hanya semacam menjuntai di dunia maya. Sekarang, mari kita buat benda seri waktu bulanan yang dimulai pada bulan Juni tahun 2293. Kita memasuki Vortex. Perhatikan bahwa data Johnson dan Johnson adalah pendapatan kuartalan, sehingga memiliki frekuensi4. Zardoz seri waktu adalah data bulanan, sehingga memiliki frekuensi12. Anda juga mendapatkan beberapa hal yang berguna dengan objek ts, misalnya: Sekarang cobalah sebidang data Johnson Johnson: Grafik yang ditunjukkan sedikit lebih mewah daripada kode yang akan diberikannya. Untuk detailnya, lihat halaman Quick Fix Graphics. Ini berlaku untuk sisa plot yang akan Anda lihat di sini. Cobalah ini dan lihat apa yang terjadi: dan sementara Anda di sini, lihat plot. ts dan ts. plot. Perhatikan bahwa jika data Anda adalah objek deret waktu, plot () akan melakukan triknya (untuk plot waktu yang sederhana, yaitu). Jika tidak, plot. ts () akan memaksa grafik menjadi plot waktu. Bagaimana dengan filteringmembuat seri Johnson amp Johnson menggunakan moving average dua sisi Mari kita coba ini: fjj (t) 8539 jj (t-2) frac14 jj (t-1) frac14 jj (t) frac14 jj (t1) 8539 jj T2) dan juga menambahkan lowess (lowess - Anda tahu rutinitasnya) cocok untuk bersenang-senang. Mari bedakan log data dan menyebutnya dljj. Lalu mainlah dengan dljj. Sekarang histogram dan plot Q-Q, satu di atas yang lain (tapi dengan cara yang bagus): Mari kita periksa struktur korelasi dljj dengan menggunakan berbagai teknik. Pertama, lihatlah grid scatterplots dari nilai dljj (t) dibandingkan nilai tertinggal. Garisnya rendah dan sampelnya berwarna biru di dalam kotak. Sekarang mari kita lihat ACF dan PACF dari dljj. Perhatikan bahwa sumbu LAG adalah dalam hal frekuensi. Jadi 1,2,3,4,5 sesuai dengan lag 4,8,12,16,20 karena frekuensi4 di sini. Jika Anda tidak menyukai jenis label ini, Anda dapat mengganti dljj di salah satu dari yang di atas oleh ts (dljj, freq1) mis. Acf (ts (dljj, freq1), 20) Pindah, mari kita coba dekomposisi struktural log (jj) musim trend error menggunakan lowess. Jika Anda ingin memeriksa residu, misalnya, mereka berada di dogtime. series, 3. Kolom ketiga dari seri yang dihasilkan (komponen musiman dan tren ada di kolom 1 dan 2). Periksa ACF residu, acf (dogtime. series, 3) residu arent putih-bahkan tidak dekat. Anda bisa melakukan sedikit (sangat sedikit) lebih baik menggunakan jendela musiman lokal, berlawanan dengan yang global yang digunakan dengan menentukan per. Ketik stl untuk rinciannya. Ada juga sesuatu yang disebut StructTS yang sesuai dengan model struktural parametrik. Kami tidak menggunakan fungsi ini dalam teks saat kami mempresentasikan pemodelan struktural di Bab 6 karena kami lebih memilih untuk menggunakan program kami sendiri. Ini adalah saat yang tepat untuk menjelaskannya. Di atas, anjing adalah benda yang berisi sekumpulan barang (istilah teknis). Jika Anda tipe anjing. Anda akan melihat komponennya, dan jika Anda mengetik ringkasan (anjing) Anda akan mendapatkan sedikit ringkasan hasilnya. Salah satu komponen anjing adalah time. series. Yang berisi seri yang dihasilkan (musiman, trend, sisa). Untuk melihat komponen objek anjing ini. Anda mengetik dogtime. series (dan Anda akan melihat 3 seri, yang terakhir berisi residu). Dan itulah ceritanya. Anda akan melihat lebih banyak contoh saat kita bergerak. Dan sekarang dengan baik melakukan masalah dari Bab 2. Akan sesuai dengan log regresi (jj) beta betatim alfa 1 Q1 alfa 2 Q2 alfa 3 Q3 alfa 4 Q4 dimana Qi adalah indikator triwulan I 1,2,3,4 . Kemudian periksa residu dengan baik. Anda bisa melihat matrik model (dengan variabel dummy) seperti ini: Sekarang periksa apa yang terjadi. Lihatlah sebidang pengamatan dan nilai pas mereka: yang menunjukkan bahwa sebidang data dengan pas yang dilapiskan tidak sebanding dengan dunia maya yang dibutuhkannya. Tapi sebidang residu dan ACF residu sesuai bobotnya di joule: Apakah residu tersebut terlihat putih Abaikan korelasi 0 lag, selalu 1. Petunjuknya: Jawabannya TIDAK. Jadi regresi di atas adalah nugatory. Jadi, apa maafnya, Anda harus mengambil kelas karena ini bukan pelajaran dalam deret waktu. Aku sudah memperingatkanmu di puncak. Anda harus berhati-hati saat Anda mengalami regresi satu seri pada komponen tertinggal yang lain menggunakan lm (). Ada paket yang disebut dynlm yang membuatnya mudah disesuaikan dengan regresi yang tertinggal, dan III membahasnya tepat setelah contoh ini. Jika Anda menggunakan lm (). Maka apa yang harus Anda lakukan adalah mengikat seri bersama-sama menggunakan ts. intersect. Jika Anda tidak mengikat seri bersama, mereka tidak akan selaras dengan benar. Heres contohnya menurunkan angka kematian kardiovaskular mingguan (cmort) pada polusi partikulat (bagian) pada nilai sekarang dan tertinggal empat minggu (sekitar satu bulan). Untuk rincian tentang kumpulan data, lihat Bab 2. Pastikan astsa dimuatkan. Catatan: Tidak perlu mengganti nama lag (part, -4) ke part4. Itu hanya contoh dari apa yang dapat Anda lakukan. Alternatif di atas adalah dynlm paket yang harus dipasang, tentu saja (seperti yang kita lakukan untuk astsa di atas sana di awal). Setelah paket terinstal, Anda bisa melakukan contoh sebelumnya sebagai berikut: Nah, waktunya untuk mensimulasikan. Tenaga kerja untuk simulasi ARIMA adalah arima. sim (). Berikut adalah beberapa contoh tidak ada output yang ditampilkan disini jadi anda sendiri. Menggunakan astsa yang mudah disesuaikan dengan model ARIMA: Anda mungkin bertanya-tanya tentang perbedaan antara aic dan AIC di atas. Untuk itu Anda harus membaca teks atau tidak khawatir tentang hal itu karena tidak layak menghancurkan hari Anda memikirkannya. Dan ya, residu itu terlihat putih. Jika Anda ingin melakukan peramalan ARIMA, sarima. for termasuk dalam astsa. Dan sekarang untuk beberapa regresi dengan kesalahan autokorelasi. Akan sesuai dengan model M t alpha betat gammaP t e t dimana M t dan P t adalah seri mortalitas (cmort) dan partikulat (bagian), dan kesalahan autokorelasi. Pertama, lakukan OLS sesuai dan periksa residu: Sekarang sesuai model Analisis residual (tidak ditunjukkan) terlihat sempurna. Heres model ARMAX, M t beta 0 phi 1 M t-1 phi 2 M t-2 beta 1 t beta 2 T t-1 beta 3 P t beta 4 P t-4 e t. Dimana et mungkin autokorelasi. Pertama kita coba dan ARMAX (p2, q0), lalu lihat residu dan sadar tidak ada korelasi yang tersisa, jadi selesai. Akhirnya, analisa spektral cepat: Thats all for now. Jika Anda menginginkan lebih banyak grafis seri waktu, lihat halaman Quick Fix Graphics. Rata-rata Rata-rata di R Sejauh pengetahuan saya, R tidak memiliki fungsi built-in untuk menghitung moving averages. Dengan menggunakan fungsi filter, kita dapat menulis fungsi pendek untuk moving averages: Kita kemudian dapat menggunakan fungsi pada data: mav (data), atau mav (data, 11) jika kita ingin menentukan jumlah titik data yang berbeda. Dari pada default 5 plotting works seperti yang diharapkan: plot (mav (data)). Selain jumlah titik data yang rata-rata, kita juga dapat mengubah argumen sisi fungsi filter: sisi kedua menggunakan kedua sisi, sisi1 hanya menggunakan nilai masa lalu. Bagikan ini: Kirim navigasi Komentar navigasi Komentar navigasiMenggunakan R untuk Analisis Waktu Seri Analisis Seri Waktu Buklet ini memberi tahu Anda bagaimana menggunakan perangkat lunak statistik R untuk melakukan beberapa analisis sederhana yang umum dalam menganalisis data deret waktu. Buklet ini mengasumsikan bahwa pembaca memiliki beberapa pengetahuan dasar tentang analisis deret waktu, dan fokus utama dari buklet tersebut bukanlah untuk menjelaskan analisis deret waktu, melainkan untuk menjelaskan bagaimana melakukan analisis ini menggunakan R. Jika Anda baru mengenal deret waktu Analisis, dan ingin belajar lebih banyak tentang konsep apa pun yang disajikan di sini, saya akan sangat merekomendasikan buku Open University 8220Time series8221 (kode produk M24902), tersedia dari Open University Shop. Dalam buklet ini, saya akan menggunakan kumpulan data rangkaian waktu yang telah disediakan oleh Rob Hyndman dalam Time Data Library-nya di robjhyndmanTSDL. Jika Anda menyukai buklet ini, Anda mungkin juga ingin memeriksa buklet saya untuk menggunakan R untuk statistik biomedis, a-little-book-of-r-for-biomedical-statistics. readthedocs. org. Dan buklet saya tentang penggunaan R untuk analisis multivariat, sedikit - buku - untuk - untuk memulai - analisis. readthedocs. org. Reading Time Series Data Hal pertama yang ingin Anda lakukan untuk menganalisis data deret waktu Anda adalah membacanya menjadi R, dan untuk merencanakan deret waktu. Anda dapat membaca data ke R menggunakan fungsi pemindaian (), yang mengasumsikan bahwa data Anda untuk titik waktu berturut-turut ada dalam file teks sederhana dengan satu kolom. Misalnya, file robjhyndmantsdldatamisckings. dat berisi data tentang usia kematian raja-raja berturut-turut Inggris, dimulai dengan William the Conqueror (sumber asli: Hipel dan Mcleod, 1994). Kumpulan data terlihat seperti ini: Hanya beberapa baris pertama dari file yang telah ditunjukkan. Tiga baris pertama berisi beberapa komentar pada data, dan kami ingin mengabaikan hal ini saat kami membaca data ke R. Kita dapat menggunakan ini dengan menggunakan parameter 8220skip8221 dari fungsi pemindaian (), yang menentukan berapa banyak baris di bagian atas File yang harus diabaikan Untuk membaca file ke R, mengabaikan tiga baris pertama, kita mengetik: Dalam hal ini usia kematian 42 raja berturut-turut di Inggris telah dibaca ke variabel 8216kings8217. Setelah Anda membaca data deret waktu ke R, langkah selanjutnya adalah menyimpan data dalam objek deret waktu di R, sehingga Anda dapat menggunakan banyak fungsi R8217 untuk menganalisis data deret waktu. Untuk menyimpan data dalam objek deret waktu, kita menggunakan fungsi ts () di R. Misalnya, untuk menyimpan data pada variabel 8216kings8217 sebagai objek deret waktu di R, kita mengetik: Terkadang data deret waktu yang ditetapkan bahwa Anda Mungkin telah dikumpulkan secara berkala yang kurang dari satu tahun, misalnya bulanan atau kuartalan. Dalam kasus ini, Anda dapat menentukan berapa kali data dikumpulkan per tahun dengan menggunakan parameter 8216frequency8217 pada fungsi ts (). Untuk data time series bulanan, Anda mengatur frequency12, sedangkan untuk data deret triwulanan, Anda menetapkan frequency4. Anda juga dapat menentukan tahun pertama bahwa data dikumpulkan, dan interval pertama di tahun itu dengan menggunakan parameter 8216start8217 pada fungsi ts (). Misalnya, jika titik data pertama sesuai dengan kuarter kedua tahun 1986, Anda akan menetapkan startc (1986,2). Contohnya adalah kumpulan data jumlah kelahiran per bulan di kota New York, dari Januari 1946 sampai Desember 1959 (yang awalnya dikumpulkan oleh Newton). Data ini tersedia dalam file robjhyndmantsdldatadatanybirths. dat Kita dapat membaca data ke R, dan menyimpannya sebagai objek time series, dengan mengetik: Demikian pula, file robjhyndmantsdldatadatafancy. dat berisi penjualan bulanan untuk toko suvenir di sebuah kota resor pantai di Queensland, Australia, untuk Januari 1987-Desember 1993 (data asli dari Wheelwright dan Hyndman, 1998). Kita bisa membaca data ke R dengan mengetikkan: Plotting Time Series Setelah Anda membaca sebuah seri waktu ke R, langkah selanjutnya adalah membuat plot dari data deret waktu, yang dapat Anda lakukan dengan fungsi plot. ts () Dalam R. Misalnya, untuk merencanakan deret waktu dari usia kematian 42 raja berturut-turut Inggris, kita mengetik: Kita dapat melihat dari plot waktu bahwa deret waktu ini mungkin bisa dijelaskan dengan menggunakan model aditif, karena fluktuasi acak Dalam data kira-kira konstan dalam ukuran dari waktu ke waktu. Demikian juga, untuk merencanakan deret waktu jumlah kelahiran per bulan di kota New York, kita mengetik: Kita dapat melihat dari rangkaian waktu ini yang tampaknya merupakan variasi musiman dalam jumlah kelahiran per bulan: ada puncak setiap musim panas. , Dan palung setiap musim dingin. Sekali lagi, nampaknya rangkaian waktu ini mungkin bisa dijelaskan dengan menggunakan model aditif, karena fluktuasi musiman kira-kira konstan dalam ukuran dari waktu ke waktu dan sepertinya tidak bergantung pada tingkat deret waktu, dan fluktuasi acak juga tampak demikian. Kira-kira konstan dalam ukuran dari waktu ke waktu. Demikian pula, untuk merencanakan deret penjualan bulanan untuk toko suvenir di sebuah kota pantai di Queensland, Australia, kita mengetik: Dalam kasus ini, tampak bahwa model aditif tidak sesuai untuk menggambarkan seri waktu ini, karena ukurannya Fluktuasi musiman dan fluktuasi acak nampaknya meningkat dengan tingkat deret waktu. Dengan demikian, kita mungkin perlu mengubah deret waktu agar mendapatkan rangkaian waktu transformasi yang dapat dideskripsikan dengan menggunakan model aditif. Sebagai contoh, kita dapat mengubah deret waktu dengan menghitung log alami dari data asli: Di ​​sini kita dapat melihat bahwa fluktuasi musiman dan fluktuasi acak dalam deret waktu log-transform tampaknya konstan sepanjang waktu, dan lakukan Tidak tergantung pada tingkat deret waktu. Dengan demikian, deret waktu log-transform dapat digambarkan menggunakan model aditif. Decomposing Time Series Menguraikan rangkaian waktu berarti memisahkannya ke komponen penyusunnya, yang biasanya merupakan komponen tren dan komponen tidak beraturan, dan jika merupakan rangkaian waktu musiman, komponen musiman. Mengurai Data Non-Musiman Seri waktu non-musiman terdiri dari komponen tren dan komponen tidak beraturan. Mendekomposisi deret waktu melibatkan mencoba memisahkan deret waktu ke komponen ini, yaitu memperkirakan komponen tren dan komponen tidak beraturan. Untuk memperkirakan komponen tren dari rangkaian waktu non-musiman yang dapat dijelaskan dengan menggunakan model aditif, lazim digunakan metode pemulusan, seperti menghitung rata-rata pergerakan sederhana dari deret waktu. Fungsi SMA () pada paket 8220TTR8221 R dapat digunakan untuk memperlancar data deret waktu menggunakan rata-rata bergerak sederhana. Untuk menggunakan fungsi ini, pertama-tama kita perlu menginstal paket 8220TTR8221 R (untuk petunjuk bagaimana cara menginstal paket R, lihat Bagaimana cara menginstal paket R). Setelah Anda menginstal paket 8220TTR8221 R, Anda dapat memuat paket 8220TTR8221 R dengan mengetikkan: Anda kemudian dapat menggunakan fungsi 8220SMA () 8221 untuk memperlancar data deret waktu. Untuk menggunakan fungsi SMA (), Anda perlu menentukan urutan (rentang) rata-rata bergerak sederhana, dengan menggunakan parameter 8220n8221. Sebagai contoh, untuk menghitung rata-rata bergerak sederhana dari pesanan 5, kita menetapkan n5 di fungsi SMA (). Misalnya, seperti yang dibahas di atas, deret waktu dari usia kematian 42 raja berturut-turut di Inggris muncul tidak musiman, dan mungkin dapat dijelaskan dengan menggunakan model aditif, karena fluktuasi data secara acak berukuran konstan sepanjang Waktu: Dengan demikian, kita bisa mencoba mengestimasi komponen tren seri kali ini dengan merapikan dengan menggunakan moving average yang sederhana. Untuk memperlancar deret waktu menggunakan rata-rata bergerak sederhana dari pesanan 3, dan plot data deret waktu yang diperhalus, kita mengetik: Masih terlihat ada banyak fluktuasi acak dalam rangkaian waktu yang dihaluskan dengan menggunakan rata-rata bergerak sederhana dari pesanan 3. Dengan demikian, untuk memperkirakan komponen tren secara lebih akurat, kita mungkin ingin mencoba merapikan data dengan rata-rata bergerak sederhana dengan tatanan yang lebih tinggi. Ini membutuhkan sedikit trial and error, untuk menemukan jumlah smoothing yang tepat. Sebagai contoh, kita dapat mencoba menggunakan rata-rata bergerak sederhana dari pesanan 8: Data yang dihaluskan dengan rata-rata bergerak sederhana dari pesanan 8 memberi gambaran lebih jelas tentang komponen tren, dan kita dapat melihat bahwa usia kematian raja-raja Inggris tampaknya Telah menurun dari sekitar 55 tahun menjadi sekitar 38 tahun pada masa pemerintahan 20 raja pertama, dan kemudian meningkat setelah itu menjadi sekitar 73 tahun pada akhir masa pemerintahan raja ke-40 dalam deret waktu. Mengurai Data Musiman Seri waktu musiman terdiri dari komponen tren, komponen musiman dan komponen tidak beraturan. Dekomposisi deret waktu berarti memisahkan deret waktu ke dalam ketiga komponen ini: yaitu memperkirakan ketiga komponen ini. Untuk memperkirakan komponen tren dan komponen musiman dari deret waktu musiman yang dapat dijelaskan dengan menggunakan model aditif, kita dapat menggunakan fungsi 8220decompose () 8221 di R. Fungsi ini memperkirakan komponen tren, musiman, dan tidak beraturan dari rangkaian waktu yang Dapat dijelaskan dengan menggunakan model aditif. Fungsi 8220decompose () 8221 mengembalikan sebuah objek daftar sebagai hasilnya, di mana perkiraan komponen musiman, komponen tren dan komponen tidak beraturan disimpan dalam elemen bernama dari benda daftar itu, yang masing-masing disebut 8220seasonal8221, 8220trend8221, dan 8220random8221. Misalnya, seperti yang dibahas di atas, rangkaian waktu jumlah kelahiran per bulan di kota New York musiman dengan puncak setiap musim panas dan setiap musim dingin, dan mungkin dapat dijelaskan dengan menggunakan model aditif karena fluktuasi musiman dan acak tampaknya Kira-kira konstan dalam ukuran dari waktu ke waktu: Untuk memperkirakan tren, komponen musiman dan tidak teratur dari deret waktu ini, kita mengetik: Nilai estimasi komponen musiman, tren dan tidak beraturan sekarang disimpan dalam variabel komponen kelahiran, komponen pengujian, pengujian kelahiran dan komponen kelahiran berulang. Misalnya, kita dapat mencetak perkiraan nilai komponen musiman dengan mengetik: Perkiraan faktor musiman diberikan untuk bulan Januari-Desember, dan sama untuk setiap tahun. Faktor musiman terbesar adalah untuk bulan Juli (sekitar 1,46), dan yang terendah adalah untuk bulan Februari (sekitar -2,08), menunjukkan bahwa tampaknya ada puncak kelahiran pada bulan Juli dan palung pada kelahiran pada bulan Februari setiap tahunnya. Kita dapat merencanakan perkiraan tren, musiman, dan komponen tidak teratur dari deret waktu dengan menggunakan fungsi 8220plot () 8221, misalnya: Plot di atas menunjukkan rangkaian waktu asli (atas), komponen tren perkiraan (kedua dari atas), Komponen musiman yang diperkirakan (ketiga dari atas), dan perkiraan komponen tidak beraturan (bawah). Kami melihat bahwa komponen tren yang diperkirakan menunjukkan penurunan kecil dari sekitar 24 di tahun 1947 sampai sekitar 22 pada tahun 1948, diikuti oleh peningkatan yang mantap mulai saat ini menjadi sekitar 27 di tahun 1959. Penyesuaian musiman Jika Anda memiliki rangkaian waktu musiman yang dapat dijelaskan dengan menggunakan Sebuah model aditif, Anda dapat menyesuaikan secara musiman deret waktu dengan memperkirakan komponen musiman, dan mengurangkan komponen musiman yang diperkirakan dari rangkaian waktu asli. Kita bisa melakukan ini dengan menggunakan perkiraan komponen musiman yang dihitung oleh fungsi 8220decompose () 8221. Misalnya, untuk menyesuaikan secara musiman rentang waktu jumlah kelahiran per bulan di kota New York, kita dapat memperkirakan komponen musiman menggunakan 8220decompose () 8221, dan kemudian mengurangi komponen musiman dari rangkaian waktu aslinya: Kita kemudian dapat merencanakan Time series yang disesuaikan dengan waktu menggunakan fungsi 8220plot () 8221, dengan mengetik: Anda dapat melihat bahwa variasi musiman telah dihapus dari rangkaian waktu yang disesuaikan secara musiman. Seri waktu yang disesuaikan secara musiman sekarang hanya berisi komponen tren dan komponen tidak beraturan. Prakiraan menggunakan Exponential Smoothing Exponential smoothing dapat digunakan untuk membuat ramalan jangka pendek untuk data deret waktu. Simple Exponential Smoothing Jika Anda memiliki rangkaian waktu yang dapat dijelaskan dengan menggunakan model aditif dengan tingkat konstan dan tanpa musiman, Anda dapat menggunakan perataan eksponensial sederhana untuk membuat perkiraan jangka pendek. Metode smoothing eksponensial sederhana memberikan cara untuk memperkirakan tingkat pada titik waktu saat ini. Smoothing dikendalikan oleh parameter alpha untuk memperkirakan level pada titik waktu saat ini. Nilai alpha terletak antara 0 dan 1. Nilai alfa yang mendekati 0 berarti bahwa bobot kecil ditempatkan pada observasi terbaru saat membuat perkiraan nilai masa depan. Sebagai contoh, file robjhyndmantsdldatahurstprecip1.dat berisi total curah hujan tahunan dalam inci untuk London, dari 1813-1912 (data asli dari Hipel dan McLeod, 1994). Kita dapat membaca data ke R dan merencanakannya dengan mengetik: Anda dapat melihat dari plot bahwa ada tingkat yang hampir konstan (rata-rata tetap konstan sekitar 25 inci). Fluktuasi acak dalam deret waktunya nampaknya kira-kira konstan dalam ukuran dari waktu ke waktu, jadi mungkin tepat untuk menggambarkan data menggunakan model aditif. Dengan demikian, kita bisa membuat prakiraan menggunakan smoothing eksponensial sederhana. Untuk membuat prakiraan menggunakan smoothing eksponensial sederhana di R, kita dapat menyesuaikan model prediksi pemulusan eksponensial sederhana menggunakan fungsi 8220HoltWinters () 8221 di R. Untuk menggunakan HoltWinters () untuk perataan eksponensial sederhana, kita perlu mengatur parameter betaFALSE dan gammaFALSE di Fungsi HoltWinters () (parameter beta dan gamma digunakan untuk pemulusan eksponensial Holt8217, atau pemulusan eksponensial Holt-Winters, seperti yang dijelaskan di bawah). Fungsi HoltWinters () mengembalikan variabel daftar, yang berisi beberapa elemen bernama. Misalnya, untuk menggunakan perataan eksponensial sederhana untuk membuat perkiraan untuk deret tahunan curah hujan tahunan di London, kita mengetik: Output dari HoltWinters () memberi tahu kita bahwa perkiraan nilai parameter alfa adalah sekitar 0,024. Ini sangat mendekati nol, mengatakan kepada kita bahwa prakiraan didasarkan pada pengamatan baru-baru ini dan yang baru-baru ini (walaupun bobotnya sedikit lebih banyak ditempatkan pada pengamatan terakhir). Secara default, HoltWinters () hanya membuat perkiraan untuk periode waktu yang sama yang tercakup dalam rangkaian waktu asli kami. Dalam kasus ini, rangkaian waktu asli kami meliputi curah hujan untuk London dari tahun 1813-1912, sehingga prakiraannya juga berlaku untuk tahun 1813-1912. Pada contoh di atas, kita telah menyimpan output dari fungsi HoltWinters () pada daftar variabel 8220rainseriesforecasts8221. Perkiraan yang dibuat oleh HoltWinters () disimpan dalam elemen bernama dari daftar variabel yang disebut 8220fitted8221, jadi kita bisa mendapatkan nilai mereka dengan mengetik: Kita dapat merencanakan rangkaian waktu asli melawan perkiraan dengan mengetik: Plot menunjukkan rangkaian waktu asli di Hitam, dan prakiraan sebagai garis merah. Rangkaian ramalan waktu jauh lebih mulus dari deret data asli di sini. Sebagai ukuran keakuratan prakiraan, kita dapat menghitung jumlah kesalahan kuadrat untuk kesalahan perkiraan sampel, yaitu kesalahan perkiraan untuk jangka waktu yang tercakup dalam rangkaian waktu awal kami. Jumlah kesalahan kuadrat disimpan dalam elemen bernama dari daftar variabel 8220rainseriesforecasts8221 yang disebut 8220SSE8221, jadi kita bisa mendapatkan nilainya dengan mengetik: Artinya, di sini jumlah kesalahan kuadrat adalah 1828.855. Hal ini biasa terjadi pada smoothing eksponensial sederhana untuk menggunakan nilai pertama dalam deret waktu sebagai nilai awal untuk level. Misalnya, dalam deret waktu untuk curah hujan di London, nilai pertama adalah 23,56 (inci) untuk curah hujan pada tahun 1813. Anda dapat menentukan nilai awal untuk level pada fungsi HoltWinters () dengan menggunakan parameter 8220l. start8221. Misalnya, untuk membuat perkiraan dengan nilai awal dari level yang ditetapkan menjadi 23,56, kita mengetikkan: Seperti yang dijelaskan di atas, secara default HoltWinters () hanya membuat perkiraan untuk jangka waktu yang dicakup oleh data asli, yaitu 1813-1912 untuk curah hujan Seri waktu Kita dapat membuat perkiraan untuk titik waktu lebih lanjut dengan menggunakan fungsi 8220forecast. HoltWinters () 8221 dalam paket R 8220forecast8221. Untuk menggunakan fungsi forecast. HoltWinters (), pertama-tama kita perlu menginstal paket R20 8220forecast8221 (untuk petunjuk bagaimana cara menginstal paket R, lihat Bagaimana cara menginstal paket R). Setelah Anda menginstal paket 8220forecast8221 R, Anda dapat memuat paket 8220forecast8221 R dengan mengetikkan: Bila menggunakan fungsi forecast. HoltWinters (), sebagai argumen pertama (masukan), Anda menyebarkannya model prediktif yang telah Anda pas menggunakan Fungsi HoltWinters (). Misalnya, dalam kasus deret waktu curah hujan, kami menyimpan model prediksi yang dibuat menggunakan HoltWinters () pada variabel 8220rainseriesforecasts8221. Anda menentukan berapa banyak titik waktu lebih lanjut yang ingin Anda jadikan prakiraan dengan menggunakan parameter 8220h8221 di forecast. HoltWinters (). Misalnya, untuk membuat perkiraan curah hujan untuk tahun 1814-1820 (8 tahun lagi) dengan menggunakan ramalan. HoltWinters (), kita mengetik: Fungsi forecast. HoltWinters () memberi Anda ramalan untuk satu tahun, interval prediksi 80 untuk Perkiraan, dan interval prediksi 95 untuk ramalan. Misalnya, curah hujan yang diperkirakan pada tahun 1920 sekitar 24,68 inci, dengan interval prediksi 95 (16,24, 33,11). Untuk merencanakan prediksi yang dibuat oleh forecast. HoltWinters (), kita dapat menggunakan fungsi 8220plot. forecast () 8221: Di sini prakiraan untuk 1913-1920 diplot sebagai garis biru, interval prediksi 80 sebagai daerah yang teduh oranye, dan 95 interval prediksi sebagai area berbayang kuning. Kesalahan 8216forecast8217 dihitung sebagai nilai yang teramati dikurangi nilai yang diprediksi, untuk setiap titik waktu. Kita hanya bisa menghitung perkiraan kesalahan untuk periode waktu yang tercakup dalam rangkaian waktu asli kita, yaitu 1813-1912 untuk data curah hujan. Seperti disebutkan di atas, satu ukuran keakuratan model prediktif adalah penjumlahan kuadrat-kuadrat (SSE) untuk kesalahan perkiraan sampel dalam sampel. Kesalahan perkiraan sampel dalam sampel disimpan dalam elemen bernama 8220residuals8221 dari variabel daftar yang dikembalikan oleh forecast. HoltWinters (). Jika model prediktif tidak dapat diperbaiki, seharusnya tidak ada korelasi antara perkiraan kesalahan untuk prediksi berturut-turut. Dengan kata lain, jika ada korelasi antara perkiraan kesalahan untuk prediksi berturut-turut, kemungkinan ramalan penghalusan eksponensial sederhana dapat diperbaiki dengan teknik peramalan lain. Untuk mengetahui apakah ini masalahnya, kita bisa mendapatkan correlogram dari perkiraan kesalahan dalam sampel untuk lag lag 1-20. Kita dapat menghitung correlogram dari kesalahan perkiraan menggunakan fungsi 8220acf () 8221 di R. Untuk menentukan lag maksimum yang ingin kita lihat, kita menggunakan parameter 8220lag. max8221 di acf (). Misalnya, untuk menghitung correlogram kesalahan perkiraan sampel untuk data curah hujan London untuk lag 1-20, kita mengetik: Anda dapat melihat dari correlogram sampel bahwa autokorelasi pada lag 3 hanya menyentuh batas-batas signifikansi. Untuk menguji apakah ada bukti signifikan untuk korelasi non-nol pada lag 1-20, kita dapat melakukan uji Ljung-Box. Hal ini dapat dilakukan pada R menggunakan fungsi 8220Box. test () 8221. Kelambatan maksimum yang ingin kita lihat ditentukan dengan menggunakan parameter 8220lag8221 pada fungsi Box. test (). Misalnya, untuk menguji apakah ada autokorelasi non-nol pada lag 1-20, untuk kesalahan perkiraan sampel untuk data curah hujan di London, kita mengetik: Berikut statistik uji Ljung-Box adalah 17,4, dan nilai p adalah 0,6 , Jadi hanya ada sedikit bukti autokorelasi non-nol pada kesalahan perkiraan sampel pada lag 1-20. Untuk memastikan bahwa model prediktif tidak dapat diperbaiki, ada baiknya juga untuk memeriksa apakah kesalahan perkiraan terdistribusi normal dengan mean nol dan varians konstan. Untuk memeriksa apakah kesalahan perkiraan memiliki varians konstan, kita dapat membuat plot waktu dari perkiraan kesalahan dalam sampel: Plot menunjukkan bahwa kesalahan perkiraan sampel tampaknya memiliki varians yang hampir konstan dari waktu ke waktu, walaupun ukuran fluktuasi di Dimulainya rangkaian waktu (1820-1830) mungkin sedikit kurang dari yang di kemudian hari (misalnya 1840-1850). Untuk memeriksa apakah kesalahan perkiraan terdistribusi normal dengan mean nol, kita dapat merencanakan histogram dari kesalahan perkiraan, dengan kurva normal yang dilapis yang memiliki mean nol dan standar deviasi yang sama dengan distribusi kesalahan perkiraan. Untuk melakukan ini, kita dapat menentukan fungsi R 8220plotForecastErrors () 8221, di bawah ini: Anda harus menyalin fungsi di atas ke dalam R untuk menggunakannya. Anda kemudian dapat menggunakan plotForecastErrors () untuk merencanakan histogram (dengan kurva normal terlipat) dari perkiraan kesalahan untuk prediksi curah hujan: Plot menunjukkan bahwa distribusi kesalahan perkiraan secara kasar berpusat pada nol, dan biasanya didistribusikan secara normal, meskipun Tampaknya sedikit miring ke kanan dibandingkan dengan kurva normal. Namun, condong kanan relatif kecil, dan sangat masuk akal bahwa kesalahan perkiraan terdistribusi normal dengan mean nol. Uji Ljung-Box menunjukkan bahwa hanya ada sedikit bukti autokorelasi non-nol pada kesalahan perkiraan sampel, dan distribusi kesalahan perkiraan tampaknya terdistribusi normal dengan nol rata-rata. Ini menunjukkan bahwa metode pemulusan eksponensial sederhana memberikan model prediksi yang memadai untuk curah hujan London, yang mungkin tidak dapat diperbaiki. Selanjutnya, asumsi bahwa interval prediksi 80 dan 95 didasarkan pada (bahwa tidak ada autokorelasi dalam kesalahan perkiraan, dan kesalahan perkiraan terdistribusi normal dengan mean nol dan varians konstan) mungkin valid. Holt8217s Exponential Smoothing Jika Anda memiliki rangkaian waktu yang dapat dijelaskan dengan menggunakan model aditif dengan tren meningkat atau menurun dan tanpa musiman, Anda dapat menggunakan pemulusan eksponensial Holt8217 untuk membuat perkiraan jangka pendek. Holt8217s eksponensial smoothing memperkirakan tingkat dan kemiringan pada titik waktu saat ini. Smoothing dikendalikan oleh dua parameter, alpha, untuk estimasi tingkat pada titik waktu saat ini, dan beta untuk perkiraan kemiringan b dari komponen tren pada titik waktu saat ini. Seperti halnya smoothing eksponensial sederhana, paramer alpha dan beta memiliki nilai antara 0 dan 1, dan nilai yang mendekati 0 berarti bahwa bobot kecil ditempatkan pada pengamatan terbaru saat membuat perkiraan nilai masa depan. Contoh deret waktu yang mungkin bisa dideskripsikan dengan menggunakan model aditif dengan tren dan tidak ada musiman adalah deret waktu dari diameter tahunan rok wanita8217 di hem, dari tahun 1866 sampai 1911. Data tersedia di file robjhyndmantsdldatarobertsskirts. Dat (data asli dari Hipel dan McLeod, 1994). Kita dapat membaca dan merencanakan data di R dengan mengetik: Kita dapat melihat dari plot bahwa ada peningkatan diameter hem dari sekitar 600 pada tahun 1866 sampai sekitar 1050 pada tahun 1880, dan kemudian diameter hem diturunkan menjadi sekitar 520 pada tahun 1911 Untuk membuat prakiraan, kita dapat menyesuaikan model prediktif dengan menggunakan fungsi HoltWinters () di R. Untuk menggunakan HoltWinters () untuk pemulusan eksponensial Holt8217, kita perlu mengatur parameter gammaFALSE (parameter gamma digunakan untuk pemulusan eksponensial Holt-Winters, Seperti yang dijelaskan di bawah). Misalnya, untuk menggunakan pemulusan eksponensial Holt8217 agar sesuai dengan model prediktif untuk diameter rok lingkaran, kita mengetik: Nilai taksiran alpha adalah 0,84, dan beta adalah 1,00. These are both high, telling us that both the estimate of the current value of the level, and of the slope b of the trend component, are based mostly upon very recent observations in the time series. This makes good intuitive sense, since the level and the slope of the time series both change quite a lot over time. The value of the sum-of-squared-errors for the in-sample forecast errors is 16954. We can plot the original time series as a black line, with the forecasted values as a red line on top of that, by typing: We can see from the picture that the in-sample forecasts agree pretty well with the observed values, although they tend to lag behind the observed values a little bit. If you wish, you can specify the initial values of the level and the slope b of the trend component by using the 8220l. start8221 and 8220b. start8221 arguments for the HoltWinters() function. It is common to set the initial value of the level to the first value in the time series (608 for the skirts data), and the initial value of the slope to the second value minus the first value (9 for the skirts data). For example, to fit a predictive model to the skirt hem data using Holt8217s exponential smoothing, with initial values of 608 for the level and 9 for the slope b of the trend component, we type: As for simple exponential smoothing, we can make forecasts for future times not covered by the original time series by using the forecast. HoltWinters() function in the 8220forecast8221 package. For example, our time series data for skirt hems was for 1866 to 1911, so we can make predictions for 1912 to 1930 (19 more data points), and plot them, by typing: The forecasts are shown as a blue line, with the 80 prediction intervals as an orange shaded area, and the 95 prediction intervals as a yellow shaded area. As for simple exponential smoothing, we can check whether the predictive model could be improved upon by checking whether the in-sample forecast errors show non-zero autocorrelations at lags 1-20. For example, for the skirt hem data, we can make a correlogram, and carry out the Ljung-Box test, by typing: Here the correlogram shows that the sample autocorrelation for the in-sample forecast errors at lag 5 exceeds the significance bounds. However, we would expect one in 20 of the autocorrelations for the first twenty lags to exceed the 95 significance bounds by chance alone. Indeed, when we carry out the Ljung-Box test, the p-value is 0.47, indicating that there is little evidence of non-zero autocorrelations in the in-sample forecast errors at lags 1-20. As for simple exponential smoothing, we should also check that the forecast errors have constant variance over time, and are normally distributed with mean zero. We can do this by making a time plot of forecast errors, and a histogram of the distribution of forecast errors with an overlaid normal curve: The time plot of forecast errors shows that the forecast errors have roughly constant variance over time. The histogram of forecast errors show that it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Thus, the Ljung-Box test shows that there is little evidence of autocorrelations in the forecast errors, while the time plot and histogram of forecast errors show that it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Therefore, we can conclude that Holt8217s exponential smoothing provides an adequate predictive model for skirt hem diameters, which probably cannot be improved upon. In addition, it means that the assumptions that the 80 and 95 predictions intervals were based upon are probably valid. Holt-Winters Exponential Smoothing If you have a time series that can be described using an additive model with increasing or decreasing trend and seasonality, you can use Holt-Winters exponential smoothing to make short-term forecasts. Holt-Winters exponential smoothing estimates the level, slope and seasonal component at the current time point. Smoothing is controlled by three parameters: alpha, beta, and gamma, for the estimates of the level, slope b of the trend component, and the seasonal component, respectively, at the current time point. The parameters alpha, beta and gamma all have values between 0 and 1, and values that are close to 0 mean that relatively little weight is placed on the most recent observations when making forecasts of future values. An example of a time series that can probably be described using an additive model with a trend and seasonality is the time series of the log of monthly sales for the souvenir shop at a beach resort town in Queensland, Australia (discussed above): To make forecasts, we can fit a predictive model using the HoltWinters() function. For example, to fit a predictive model for the log of the monthly sales in the souvenir shop, we type: The estimated values of alpha, beta and gamma are 0.41, 0.00, and 0.96, respectively. The value of alpha (0.41) is relatively low, indicating that the estimate of the level at the current time point is based upon both recent observations and some observations in the more distant past. The value of beta is 0.00, indicating that the estimate of the slope b of the trend component is not updated over the time series, and instead is set equal to its initial value. This makes good intuitive sense, as the level changes quite a bit over the time series, but the slope b of the trend component remains roughly the same. In contrast, the value of gamma (0.96) is high, indicating that the estimate of the seasonal component at the current time point is just based upon very recent observations. As for simple exponential smoothing and Holt8217s exponential smoothing, we can plot the original time series as a black line, with the forecasted values as a red line on top of that: We see from the plot that the Holt-Winters exponential method is very successful in predicting the seasonal peaks, which occur roughly in November every year. To make forecasts for future times not included in the original time series, we use the 8220forecast. HoltWinters()8221 function in the 8220forecast8221 package. For example, the original data for the souvenir sales is from January 1987 to December 1993. If we wanted to make forecasts for January 1994 to December 1998 (48 more months), and plot the forecasts, we would type: The forecasts are shown as a blue line, and the orange and yellow shaded areas show 80 and 95 prediction intervals, respectively. We can investigate whether the predictive model can be improved upon by checking whether the in-sample forecast errors show non-zero autocorrelations at lags 1-20, by making a correlogram and carrying out the Ljung-Box test: The correlogram shows that the autocorrelations for the in-sample forecast errors do not exceed the significance bounds for lags 1-20. Furthermore, the p-value for Ljung-Box test is 0.6, indicating that there is little evidence of non-zero autocorrelations at lags 1-20. We can check whether the forecast errors have constant variance over time, and are normally distributed with mean zero, by making a time plot of the forecast errors and a histogram (with overlaid normal curve): From the time plot, it appears plausible that the forecast errors have constant variance over time. From the histogram of forecast errors, it seems plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero. Thus, there is little evidence of autocorrelation at lags 1-20 for the forecast errors, and the forecast errors appear to be normally distributed with mean zero and constant variance over time. This suggests that Holt-Winters exponential smoothing provides an adequate predictive model of the log of sales at the souvenir shop, which probably cannot be improved upon. Furthermore, the assumptions upon which the prediction intervals were based are probably valid. ARIMA Models Exponential smoothing methods are useful for making forecasts, and make no assumptions about the correlations between successive values of the time series. However, if you want to make prediction intervals for forecasts made using exponential smoothing methods, the prediction intervals require that the forecast errors are uncorrelated and are normally distributed with mean zero and constant variance. While exponential smoothing methods do not make any assumptions about correlations between successive values of the time series, in some cases you can make a better predictive model by taking correlations in the data into account. Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) models include an explicit statistical model for the irregular component of a time series, that allows for non-zero autocorrelations in the irregular component. Differencing a Time Series ARIMA models are defined for stationary time series. Therefore, if you start off with a non-stationary time series, you will first need to 8216difference8217 the time series until you obtain a stationary time series. If you have to difference the time series d times to obtain a stationary series, then you have an ARIMA(p, d,q) model, where d is the order of differencing used. You can difference a time series using the 8220diff()8221 function in R. For example, the time series of the annual diameter of women8217s skirts at the hem, from 1866 to 1911 is not stationary in mean, as the level changes a lot over time: We can difference the time series (which we stored in 8220skirtsseries8221, see above) once, and plot the differenced series, by typing: The resulting time series of first differences (above) does not appear to be stationary in mean. Therefore, we can difference the time series twice, to see if that gives us a stationary time series: Formal tests for stationarity Formal tests for stationarity called 8220unit root tests8221 are available in the fUnitRoots package, available on CRAN, but will not be discussed here. The time series of second differences (above) does appear to be stationary in mean and variance, as the level of the series stays roughly constant over time, and the variance of the series appears roughly constant over time. Thus, it appears that we need to difference the time series of the diameter of skirts twice in order to achieve a stationary series. If you need to difference your original time series data d times in order to obtain a stationary time series, this means that you can use an ARIMA(p, d,q) model for your time series, where d is the order of differencing used. For example, for the time series of the diameter of women8217s skirts, we had to difference the time series twice, and so the order of differencing (d) is 2. This means that you can use an ARIMA(p,2,q) model for your time series. The next step is to figure out the values of p and q for the ARIMA model. Another example is the time series of the age of death of the successive kings of England (see above): From the time plot (above), we can see that the time series is not stationary in mean. To calculate the time series of first differences, and plot it, we type: The time series of first differences appears to be stationary in mean and variance, and so an ARIMA(p,1,q) model is probably appropriate for the time series of the age of death of the kings of England. By taking the time series of first differences, we have removed the trend component of the time series of the ages at death of the kings, and are left with an irregular component. We can now examine whether there are correlations between successive terms of this irregular component if so, this could help us to make a predictive model for the ages at death of the kings. Selecting a Candidate ARIMA Model If your time series is stationary, or if you have transformed it to a stationary time series by differencing d times, the next step is to select the appropriate ARIMA model, which means finding the values of most appropriate values of p and q for an ARIMA(p, d,q) model. To do this, you usually need to examine the correlogram and partial correlogram of the stationary time series. To plot a correlogram and partial correlogram, we can use the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions in R, respectively. To get the actual values of the autocorrelations and partial autocorrelations, we set 8220plotFALSE8221 in the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, to plot the correlogram for lags 1-20 of the once differenced time series of the ages at death of the kings of England, and to get the values of the autocorrelations, we type: We see from the correlogram that the autocorrelation at lag 1 (-0.360) exceeds the significance bounds, but all other autocorrelations between lags 1-20 do not exceed the significance bounds. To plot the partial correlogram for lags 1-20 for the once differenced time series of the ages at death of the English kings, and get the values of the partial autocorrelations, we use the 8220pacf()8221 function, by typing: The partial correlogram shows that the partial autocorrelations at lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, are negative, and are slowly decreasing in magnitude with increasing lag (lag 1: -0.360, lag 2: -0.335, lag 3:-0.321). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 3. Since the correlogram is zero after lag 1, and the partial correlogram tails off to zero after lag 3, this means that the following ARMA (autoregressive moving average) models are possible for the time series of first differences: an ARMA(3,0) model, that is, an autoregressive model of order p3, since the partial autocorrelogram is zero after lag 3, and the autocorrelogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(0,1) model, that is, a moving average model of order q1, since the autocorrelogram is zero after lag 1 and the partial autocorrelogram tails off to zero an ARMA(p, q) model, that is, a mixed model with p and q greater than 0, since the autocorrelogram and partial correlogram tail off to zero (although the correlogram probably tails off to zero too abruptly for this model to be appropriate) We use the principle of parsimony to decide which model is best: that is, we assum e that the model with the fewest parameters is best. The ARMA(3,0) model has 3 parameters, the ARMA(0,1) model has 1 parameter, and the ARMA(p, q) model has at least 2 parameters. Therefore, the ARMA(0,1) model is taken as the best model. An ARMA(0,1) model is a moving average model of order 1, or MA(1) model. This model can be written as: Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where Xt is the stationary time series we are studying (the first differenced series of ages at death of English kings), mu is the mean of time series Xt, Zt is white noise with mean zero and constant variance, and theta is a parameter that can be estimated. A MA (moving average) model is usually used to model a time series that shows short-term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes good sense that a MA model can be used to describe the irregular component in the time series of ages at death of English kings, as we might expect the age at death of a particular English king to have some effect on the ages at death of the next king or two, but not much effect on the ages at death of kings that reign much longer after that. Shortcut: the auto. arima() function The auto. arima() function can be used to find the appropriate ARIMA model, eg. type 8220library(forecast)8221, then 8220auto. arima(kings)8221. The output says an appropriate model is ARIMA(0,1,1). Since an ARMA(0,1) model (with p0, q1) is taken to be the best candidate model for the time series of first differences of the ages at death of English kings, then the original time series of the ages of death can be modelled using an ARIMA(0,1,1) model (with p0, d1, q1, where d is the order of differencing required). Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere Let8217s take another example of selecting an appropriate ARIMA model. The file file robjhyndmantsdldataannualdvi. dat contains data on the volcanic dust veil index in the northern hemisphere, from 1500-1969 (original data from Hipel and Mcleod, 1994). This is a measure of the impact of volcanic eruptions8217 release of dust and aerosols into the environment. We can read it into R and make a time plot by typing: From the time plot, it appears that the random fluctuations in the time series are roughly constant in size over time, so an additive model is probably appropriate for describing this time series. Furthermore, the time series appears to be stationary in mean and variance, as its level and variance appear to be roughly constant over time. Therefore, we do not need to difference this series in order to fit an ARIMA model, but can fit an ARIMA model to the original series (the order of differencing required, d, is zero here). We can now plot a correlogram and partial correlogram for lags 1-20 to investigate what ARIMA model to use: We see from the correlogram that the autocorrelations for lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, and that the autocorrelations tail off to zero after lag 3. The autocorrelations for lags 1, 2, 3 are positive, and decrease in magnitude with increasing lag (lag 1: 0.666, lag 2: 0.374, lag 3: 0.162). The autocorrelation for lags 19 and 20 exceed the significance bounds too, but it is likely that this is due to chance, since they just exceed the significance bounds (especially for lag 19), the autocorrelations for lags 4-18 do not exceed the signifiance bounds, and we would expect 1 in 20 lags to exceed the 95 significance bounds by chance alone. From the partial autocorrelogram, we see that the partial autocorrelation at lag 1 is positive and exceeds the significance bounds (0.666), while the partial autocorrelation at lag 2 is negative and also exceeds the significance bounds (-0.126). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 2. Since the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2, the following ARMA models are possible for the time series: an ARMA(2,0) model, since the partial autocorrelogram is zero after lag 2, and the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2 an ARMA(0,3) model, since the autocorrelogram is zero after lag 3, and the partial correlogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(p, q) mixed model, since the correlogram and partial correlogram tail off to zero (although the partial correlogram perhaps tails off too abruptly for this model to be appropriate) Shortcut: the auto. arima() function Again, we can use auto. arima() to find an appropriate model, by typing 8220auto. arima(volcanodust)8221, which gives us ARIMA(1,0,2), which has 3 parameters. However, different criteria can be used to select a model (see auto. arima() help page). If we use the 8220bic8221 criterion, which penalises the number of parameters, we get ARIMA(2,0,0), which is ARMA(2,0): 8220auto. arima(volcanodust, ic8221bic8221)8221. The ARMA(2,0) model has 2 parameters, the ARMA(0,3) model has 3 parameters, and the ARMA(p, q) model has at least 2 parameters. Therefore, using the principle of parsimony, the ARMA(2,0) model and ARMA(p, q) model are equally good candidate models. An ARMA(2,0) model is an autoregressive model of order 2, or AR(2) model. This model can be written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Xt is the stationary time series we are studying (the time series of volcanic dust veil index), mu is the mean of time series Xt, Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated, and Zt is white noise with mean zero and constant variance. An AR (autoregressive) model is usually used to model a time series which shows longer term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes sense that an AR model could be used to describe the time series of volcanic dust veil index, as we would expect volcanic dust and aerosol levels in one year to affect those in much later years, since the dust and aerosols are unlikely to disappear quickly. If an ARMA(2,0) model (with p2, q0) is used to model the time series of volcanic dust veil index, it would mean that an ARIMA(2,0,0) model can be used (with p2, d0, q0, where d is the order of differencing required). Similarly, if an ARMA(p, q) mixed model is used, where p and q are both greater than zero, than an ARIMA(p,0,q) model can be used. Forecasting Using an ARIMA Model Once you have selected the best candidate ARIMA(p, d,q) model for your time series data, you can estimate the parameters of that ARIMA model, and use that as a predictive model for making forecasts for future values of your time series. You can estimate the parameters of an ARIMA(p, d,q) model using the 8220arima()8221 function in R. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, we discussed above that an ARIMA(0,1,1) model seems a plausible model for the ages at deaths of the kings of England. You can specify the values of p, d and q in the ARIMA model by using the 8220order8221 argument of the 8220arima()8221 function in R. To fit an ARIMA(p, d,q) model to this time series (which we stored in the variable 8220kingstimeseries8221, see above), we type: As mentioned above, if we are fitting an ARIMA(0,1,1) model to our time series, it means we are fitting an an ARMA(0,1) model to the time series of first differences. An ARMA(0,1) model can be written Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where theta is a parameter to be estimated. From the output of the 8220arima()8221 R function (above), the estimated value of theta (given as 8216ma18217 in the R output) is -0.7218 in the case of the ARIMA(0,1,1) model fitted to the time series of ages at death of kings. Specifying the confidence level for prediction intervals You can specify the confidence level for prediction intervals in forecast. Arima() by using the 8220level8221 argument. For example, to get a 99.5 prediction interval, we would type 8220forecast. Arima(kingstimeseriesarima, h5, levelc(99.5))8221. We can then use the ARIMA model to make forecasts for future values of the time series, using the 8220forecast. Arima()8221 function in the 8220forecast8221 R package. For example, to forecast the ages at death of the next five English kings, we type: The original time series for the English kings includes the ages at death of 42 English kings. The forecast. Arima() function gives us a forecast of the age of death of the next five English kings (kings 43-47), as well as 80 and 95 prediction intervals for those predictions. The age of death of the 42nd English king was 56 years (the last observed value in our time series), and the ARIMA model gives the forecasted age at death of the next five kings as 67.8 years. We can plot the observed ages of death for the first 42 kings, as well as the ages that would be predicted for these 42 kings and for the next 5 kings using our ARIMA(0,1,1) model, by typing: As in the case of exponential smoothing models, it is a good idea to investigate whether the forecast errors of an ARIMA model are normally distributed with mean zero and constant variance, and whether the are correlations between successive forecast errors. For example, we can make a correlogram of the forecast errors for our ARIMA(0,1,1) model for the ages at death of kings, and perform the Ljung-Box test for lags 1-20, by typing: Since the correlogram shows that none of the sample autocorrelations for lags 1-20 exceed the significance bounds, and the p-value for the Ljung-Box test is 0.9, we can conclude that there is very little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors at lags 1-20. To investigate whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we can make a time plot and histogram (with overlaid normal curve) of the forecast errors: The time plot of the in-sample forecast errors shows that the variance of the forecast errors seems to be roughly constant over time (though perhaps there is slightly higher variance for the second half of the time series). The histogram of the time series shows that the forecast errors are roughly normally distributed and the mean seems to be close to zero. Therefore, it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Since successive forecast errors do not seem to be correlated, and the forecast errors seem to be normally distributed with mean zero and constant variance, the ARIMA(0,1,1) does seem to provide an adequate predictive model for the ages at death of English kings. Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere We discussed above that an appropriate ARIMA model for the time series of volcanic dust veil index may be an ARIMA(2,0,0) model. To fit an ARIMA(2,0,0) model to this time series, we can type: As mentioned above, an ARIMA(2,0,0) model can be written as: written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated. The output of the arima() function tells us that Beta1 and Beta2 are estimated as 0.7533 and -0.1268 here (given as ar1 and ar2 in the output of arima()). Now we have fitted the ARIMA(2,0,0) model, we can use the 8220forecast. ARIMA()8221 model to predict future values of the volcanic dust veil index. The original data includes the years 1500-1969. To make predictions for the years 1970-2000 (31 more years), we type: We can plot the original time series, and the forecasted values, by typing: One worrying thing is that the model has predicted negative values for the volcanic dust veil index, but this variable can only have positive values The reason is that the arima() and forecast. Arima() functions don8217t know that the variable can only take positive values. Clearly, this is not a very desirable feature of our current predictive model. Again, we should investigate whether the forecast errors seem to be correlated, and whether they are normally distributed with mean zero and constant variance. To check for correlations between successive forecast errors, we can make a correlogram and use the Ljung-Box test: The correlogram shows that the sample autocorrelation at lag 20 exceeds the significance bounds. However, this is probably due to chance, since we would expect one out of 20 sample autocorrelations to exceed the 95 significance bounds. Furthermore, the p-value for the Ljung-Box test is 0.2, indicating that there is little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors for lags 1-20. To check whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we make a time plot of the forecast errors, and a histogram: The time plot of forecast errors shows that the forecast errors seem to have roughly constant variance over time. However, the time series of forecast errors seems to have a negative mean, rather than a zero mean. We can confirm this by calculating the mean forecast error, which turns out to be about -0.22: The histogram of forecast errors (above) shows that although the mean value of the forecast errors is negative, the distribution of forecast errors is skewed to the right compared to a normal curve. Therefore, it seems that we cannot comfortably conclude that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance Thus, it is likely that our ARIMA(2,0,0) model for the time series of volcanic dust veil index is not the best model that we could make, and could almost definitely be improved upon Links and Further Reading Here are some links for further reading. For a more in-depth introduction to R, a good online tutorial is available on the 8220Kickstarting R8221 website, cran. r-project. orgdoccontribLemon-kickstart . There is another nice (slightly more in-depth) tutorial to R available on the 8220Introduction to R8221 website, cran. r-project. orgdocmanualsR-intro. html . You can find a list of R packages for analysing time series data on the CRAN Time Series Task View webpage . To learn about time series analysis, I would highly recommend the book 8220Time series8221 (product code M24902) by the Open University, available from the Open University Shop . There are two books available in the 8220Use R8221 series on using R for time series analyses, the first is Introductory Time Series with R by Cowpertwait and Metcalfe, and the second is Analysis of Integrated and Cointegrated Time Series with R by Pfaff. Acknowledgements I am grateful to Professor Rob Hyndman. for kindly allowing me to use the time series data sets from his Time Series Data Library (TSDL) in the examples in this booklet. Many of the examples in this booklet are inspired by examples in the excellent Open University book, 8220Time series8221 (product code M24902), available from the Open University Shop . Thank you to Ravi Aranke for bringing auto. arima() to my attention, and Maurice Omane-Adjepong for bringing unit root tests to my attention, and Christian Seubert for noticing a small bug in plotForecastErrors(). Thank you for other comments to Antoine Binard and Bill Johnston. I will be grateful if you will send me (Avril Coghlan) corrections or suggestions for improvements to my email address alc 64 sanger 46 ac 46 uk